Александр Давыдов родился в Москве 25 января 1937 года в семье известного мультипликатора Романа Давыдова. Во время Великой Отечественной войны семью Давыдова эвакуировали в Самарканд. После войны Александр в Москве пошёл в школу, с младших классов увлекался рисованием. В 1956 году Давыдов поступил на двухгодичные курсы киностудии «Союзмультфильм», где и остался работать. В 1959 году — первое участие мультипликатором в мультфильме «Скоро будет дождь». С 1959 по 2005 годы Александр Давыдов принял участие в создании около 100 мультипликационных фильмов мультипликатором, художником, режиссёром, сценаристом или постановщиком. С 1984 по 1991 годы Давыдов в качестве режиссёра участвовал в киносатирическом журнале «Фитиль». В 1988 году за «Возвращение блудного попугая» Александр Романович был удостоен премии Союза кинематографистов СССР — «Ника», став первым художником-мультипликатором-лауреатом этой премии. Некоторое время он работал за границей — в киношколе в Индии. Последней работой Давыдова стал мультфильм «Новые приключения попугая Кеши» 2005 года. Умер Александр Романович Давыдов в Москве 20 ноября 2012 года.