Александр Соловьёв, потомок репрессированных москвичей, родился 19 августа 1952 года в семье учителей в посёлке Сулак Дагестанской АССР. В дальнейшем его семья переехала в Норильск. После школы уехал в Москву и поступил в ГИТИС. Учился у Андрея Гончарова, на одном курсе с Игорем Костолевским и Александром Фатюшиным. После окончания ГИТИСа в 1973 году по приглашению Гончарова Соловьёв начал работать в Театре имени Маяковского. Через год он ушёл в Центральный детский театр, где проработал до 1986 года. Соловьёв, помимо работы в театре, много снимался. Фильмы «Адам женится на Еве», «Зелёный фургон», «Ребёнок к ноябрю», «По данным уголовного розыска», «Дамы приглашают кавалеров» и другие киноленты принесли ему известность. Был мастером закадрового озвучивания и дубляжа, озвучил множество отечественных и зарубежных фильмов и мультфильмов. По мнению режиссёра Владимира Мотыля, из актёров советского кино быть абсолютно независимым в актёрской профессии удалось только троим: Высоцкому, Далю и Соловьёву. С 1989 года — актёр Театра «Одеон» под руководством Е. В. Радомысленского. В 1991 году единственный раз попробовал себя в режиссуре, поставив трагикомедию «По Таганке ходят танки». В этом фильме выступил и как актёр. В последний раз в своей жизни снялся в 1998 году, в клипе Ксении Георгиади на песню «За нас с тобой».