Белявский родился в простой семье и годы детства пришлись на войну, но родители сделали все, чтобы сын получил образование.
После школы поступил на геолого-разведочный факультет Московского института цветных металлов и золота.
После окончания уехал по распределнию в Иркутск, где впервые вышел на сцену в роли Молчалина в самодеятельном спектакле.
В 1957 году поступил в театральное училище им. Б. Щукина. Был принят по окончанию в Театр Сатиры.
Белявский много снимался не только в стране, но и зарубежом.
В 1983 году ему присвоено звание Заслуженного артиста РСФСР. А в 2003 – звание Народного артиста России.